раздел геометрии, в котором свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий изучаются методами математического анализа, в первую очередь - дифференциального исчисления. Работы по дифференциальной геометрии К.Гаусса (1777-1855), Г.Дарбу (1842-1917), Л.Бианки (1856-1928) и Л.Эйзенхарта (1876-1965) посвящены, главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Это предмет так называемой дифференциальной геометрии "в малом". Более поздние работы, особенно начиная с 1930-х годов, посвящены изучению взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и "глобальными" свойствами всего многообразия. Эту теорию называют дифференциальной геометрией "в целом". Кроме того, дифференциальная геометрия разбивается на разделы по аналогии с подразделением всей геометрии. Если на рассматриваемом многообразии определено расстояние, то возникает "метрическая" дифференциальная геометрия, называемая римановой в честь ее создателя Б.Римана (1826-1866). Аналогично проективная, аффинная и конформная дифференциальные геометрии занимаются изучением дифференциальных свойств пространств, в которых выделяются проективные, аффинные или конформные аспекты. Хотя первоначально дифференциальная геометрия занималась изучением свойств кривых и поверхностей в обычном пространстве, ныне она изучает многообразия любого числа измерений, которые могут быть (а могут и не быть) подпространствами евклидова пространства.
Кривые на плоскости и в пространстве. Будем задавать кривые на плоскости параметрическими уравнениями x f (s), y g (s), где s - натуральный параметр, длина дуги кривой. В векторной форме это можно записать так: X F(s). См. также ВЕКТОР.
Тогда единичный вектор касательной к кривой задается формулой
Вектор dT/ds в каждой точке кривой перпендикулярен к касательной, а его длина равна кривизне k кривой. Прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой. Следовательно, если N - единичный вектор нормали, то
Кроме того, можно показать, что
Если k задана как функция от s, например, k ?(s), то уравнения (1)-(3) определяют кривую однозначно с точностью до ее положения на плоскости. Соотношение k ?(s) называется внутренним уравнением кривой.
Кривая в обычном пространстве, не лежащая на плоскости, называется пространственной кривой. Чтобы исследовать дифференциальную геометрию такой кривой, зададим ее параметрическими уравнениями x f(s), y g(s), z k(s) (s - натуральный параметр) или, в векторной форме, уравнением X F(s). Единичный вектор касательной определяется равенством
Вектор dT/ds в каждой точке задает нормаль к кривой; заметим, что это лишь одна из бесконечного множества нормалей к пространственной кривой в этой точке. Единичный вектор в направлении вектора dT/ds называется единичным вектором главной нормали N кривой, а длина вектора dT/ds, как и в случае плоских кривых, называется кривизной кривой:
Вектор dN/ds перпендикулярен к N, и поэтому его можно записать в виде
где B - единичный вектор нормали, перпендикулярной к N. Прямая, определяемая вектором B, называется бинормалью к кривой, а коэффициент ? в (6) - кручением кривой. Наконец, рассмотрим вектор dB/ds; можно показать, что
Соотношения (5)-(7) называются формулами Френе. Из них следует, что если функции k ? (s) и ? ? (s) заданы, то кривая определена однозначно с точностью до положения в пространстве. Таким образом, в этих формулах содержится вся теория пространственных кривых. Плоскость, определяемая векторами T и N, называется соприкасающейся, плоскость, содержащая векторы N и B, - нормальной и плоскость, проходящая через векторы B и T, - спрямляющей.
Поверхности в пространстве. Дифференциальные свойства поверхностей в обычном пространстве выводятся из их первой и второй основных квадратичных форм. Пусть поверхность задана параметрическими уравнениями x f (u1, u2), y g (u1, u2), z h (u1, u2) или векторным уравнением X F (u1, u2). (Верхними индексами здесь нумеруются переменные.) Дифференциал длины дуги ds определяется первой основной формой, а именно
где g11, g12 и g22 - функции от u1 и u2, определяемые выражениями
Полезно также ввести величины gij:
Первая фундаментальная форма полностью определяет внутреннюю геометрию поверхности, т.е. ту геометрию, которую наблюдал бы воображаемый обитатель поверхности, неспособный воспринимать происходящие вне нее явления. Такое двумерное существо находилось бы в положении, сравнимом с положением обычного трехмерного человека, воспринимающего геометрию нашего трехмерного пространства, но неспособного воспринимать свойства пространства большего числа измерений, в котором лежит наше пространство (если такое пространство действительно существует).
Плоскость, касательная к поверхности в точке P, определяется двумя векторами в P, задаваемыми формулами
Единичный вектор нормали N определяется как общий перпендикуляр к T1 и T2. Как и в теории кривых, удобно рассмотреть векторы ?Ti/?uj (i, j 1, 2). Эти векторы можно разложить по направлениям векторов T1, T2 и N :
Величины Гijk в (9) называются символами Кристоффеля второго рода. Они определяются через величины (символы Кристоффеля первого рода) соотношениями
где по определению
Величины bij в (9) называются коэффициентами второй основной формы поверхности. Сравнивая (9) с (5), нетрудно видеть, что для поверхности bij играют такую же роль, как кривизна для плоских кривых: они описывают внешние свойства поверхности - непостижимые для воображаемого двумерного существа, живущего на поверхности, но доступные пониманию обычного трехмерного человека.
Любой единичный вектор, касательный к поверхности, может быть записан в виде
где g11?1?1 + 2g12?1?2 + g22?2?2 1. Кривизна поверхности в направлении вектора ? равна
За полуоборот вектора ? кривизна k(?) изменяется и достигает в общем случае ровно одного максимального и одного минимального значения. Эти значения соответствуют двум положениям вектора ?, находящимся под прямым углом друг к другу, а соответствующие значения k(?) называются главными кривизнами поверхности. Произведение главных кривизн называется полной (гауссовой) кривизной K поверхности, а их сумма - средней кривизной H. Эти величины определяются выражениями
и
Важную роль играют поверхности с постоянной гауссовой кривизной. При K 0 поверхность плоская, или развертывающаяся, поскольку у нее такая же внутренняя геометрия, как у плоскости. Примерами развертывающихся поверхностей могут служить прямые круговые конусы и цилиндры. При K 0 поверхность имеет эллиптическую неевклидову геометрию, а при K ? 0 - гиперболическую неевклидову геометрию.
Гаусс доказал замечательную теорему относительно кривизны K, утверждающую, что она может быть выражена через одни лишь внутренние величины, а именно через gij и их производные. Это следует из того, что определитель матрицы (bij) равен R1212, где
Величина (Rlijk) называется тензором кривизны поверхности.
Риманова геометрия. Обобщением и абстрактным вариантом только что описанной геометрии поверхности служит риманова геометрия. Она описывает n-мерное многообразие, на котором элемент длины дуги определяется формулой
в некоторой системе координат по аналогии с (8). На обычной поверхности определитель матрицы (gij) положителен, в римановой же геометрии предполагается лишь, что он отличен от нуля. Риманово пространство с римановой геометрией необязательно является подпространством пространства какой-нибудь более высокой размерности. Символы Кристоффеля и тензор кривизны определяются через gij, как и в описанном выше случае обычных поверхностей.
Секционная кривизна K12 риманова пространства в точке P определяется через ориентацию, задаваемую двумя векторами ?1 и ?2:
Если она одинакова для всех векторов ?1 и ?2, то она постоянна и для всех точек P, и пространство называется пространством постоянной кривизны, скажем K, где
Свернутый тензор кривизны, определяемый выражением
играет важную роль в общей теории относительности Эйнштейна. Пространство, в котором Rik ?gij, называется пространством Эйнштейна.
Дифференциальная геометрия в целом. Наиболее фундаментальная из известных взаимосвязей между топологией и дифференциальной геометрией устанавливается теоремой Гаусса - Бонне, которая утверждает, что для обычных замкнутых поверхностей
где интеграл берется по всей поверхности, K - гауссова кривизна и ? - характеристика Эйлера - Пуанкаре. На произвольные замкнутые римановы пространства этот результат был распространен в 1943 К.Аллендёрфером и А.Вейлем. См. также МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ; ТОПОЛОГИЯ.