ВЕКТОР Предположим, что вектор U является функцией одной скалярной переменной t. Например, U может быть радиус-вектором, проведенным из начала координат до перемещающейся точки, а t - временем. Пусть t изменится на небольшую величину ?t, что приведет к изменению U на величину ?U. Это показано на рис. 9. Отношение ?U/?t - вектор, направленный в том же направлении, что и ?U. Мы можем определить производную U по t, как
при условии, что такой предел существует. С другой стороны, можно представить U как сумму компонент по трем осям и записать
Если U - радиус-вектор r, то dr/dt - скорость точки, выраженная как функция времени. Продифференцировав по времени еще раз, мы получим ускорение. Предположим, что точка перемещается вдоль кривой, показанной на рис. 10. Пусть s - расстояние, пройденное точкой вдоль кривой. В течение малого интервала времени ?t точка пройдет расстояние ?s вдоль кривой; положение радиус-вектора изменится на ?r. Следовательно ?r/?s - вектор направленный как ?r. Далее
есть единичный вектор, касательный к кривой. Это видно из того, что при приближении точки Q к точке P, PQ приближается к касательной и ?r приближается к ?s.
Формулы для дифференцирования произведения подобны формулам для дифференцирования произведения скалярных функций; однако, так как векторное произведение антикоммутативно, порядок умножения должен быть сохранен. Поэтому,
Таким образом, мы видим, что, если вектор является функцией одной скалярной переменной, то мы можем представить производную почти также, как в случае скалярной функции.
Вектор и скалярные поля. Градиент. В физике часто приходится иметь дело с векторными или скалярными величинами, которые меняются от точки к точке в заданной области. Такие области называются "полями". Например, скаляр может быть температурой или давлением; вектор может быть скоростью движущейся жидкости или электростатическим полем системы зарядов. Если мы выбрали некоторую систему координат, то любой точке P (x, y, z) в заданной области соответствует некоторый радиус-вектор r ( xi + yj + zk) и также значение векторной величины U (r) или скаляра ??(r), связанных с ним. Предположим, что U и ? определены в области однозначно; т.е. каждой точке соответствует одна и только одна величина U или ?, хотя различные точки могут, конечно, иметь различные значения. Допустим, что мы хотим описать скорость, с которой U и ? изменяются при передвижении по этой области.
Простые частные производные, такие, как ?U/?x и ??/?y, нас не устраивают, потому что они зависят от конкретно выбранных координатных осей. Однако можно ввести векторный дифференциальный оператор, независимый от выбора осей координат; этот оператор называется "градиентом".
Пусть мы имеем дело со скалярным полем ?. Сначала в качестве примера рассмотрим контурную карту области страны. В этом случае ? - высота над уровнем моря; контурные линии соединяют точки с одним и тем же значением ?. При движении вдоль любой из этих линий ? не меняется; если двигаться перпендикулярно этим линиям, то скорость изменения ? будет максимальной. Мы можем каждой точке сопоставить вектор, указывающий величину и направление максимального изменения скорости ?; такая карта и некоторые из этих векторов показаны на рис. 11. Если мы проделаем это для каждой точки поля, то получим векторное поле, связанное со скалярным полем ?. Это поле вектора, называемого "градиентом" ?, который записывается как grad ? или ?? (символ ? также называется "набла").
В случае трех измерений, контурные линии становятся поверхностями. Малое смещение ?r ( i?x + j?y + k?z) приводит к изменению ?, которое записывается как
где точками обозначены члены более высоких порядков. Это выражение можно записать в виде скалярного произведения
Разделим правую и левую части этого равенства на ?s, и пусть ?s стремится к нулю; тогда
где dr/ds - единичный вектор в выбранном направлении. Выражение в круглых скобках - вектор, зависящий от выбранной точки. Таким образом, d?/ds имеет максимальное значение, когда dr/ds указывает в том же направлении, выражение, стоящее в скобках, является градиентом. Таким образом,
- вектор, равный по величине и совпадающий по направлению с максимальной скоростью изменения ? относительно координат. Градиент ? часто записывается в виде
Это означает, что оператор ? существует сам по себе. Во многих случаях он ведет себя как вектор и фактически является "векторным дифференциальным оператором" - одним из наиболее важных дифференциальных операторов в физике. Несмотря на то, что ? содержит единичные векторы i, j и k, его физический смысл не зависит от выбранной системы координат.
Какова связь между ?? и ?? Прежде всего предположим, что ? определяет потенциал в любой точке. При любом малом смещении ?r величина ? изменится на
Если q - величина (например масса, заряд), перемещенная на ?r, то работа, выполненная при перемещении q на ?r равна
Так как ?r - перемещение, то q?? - сила; -?? - напряженность (сила на единицу количества), связанная с ?. Например, пусть U - электростатический потенциал; тогда E - напряженность электрического поля, задается формулой
E -?U.
Допустим, что U создается точечным электрическим зарядом в q кулонов, помещенным в начало координат. Значение U в точке P (x, y, z) с радиус-вектором r задается формулой
где ?0 - диэлектрическая постоянная свободного пространства. Поэтому
откуда следует, что E действует в направлении r и его величина равна q/(4??0r3).
Зная скалярное поле, можно определить связанное с ним векторное поле. Также возможно и обратное. С точки зрения математической обработки скалярными полями оперировать легче, чем векторными, так как они задаются одной функцией координат, в то время как векторное поле требует три функции, соответствующие компонентам вектора в трех направлениях. Таким образом, возникает вопрос: дано векторное поле, может ли мы записать связанное с ним скалярное поле?
Дивергенция и ротор. Мы видели результат действия ? на скалярную функцию. Что произойдет, если ? применить к вектору? Имеются две возможности: пусть U (x, y, z) - вектор; тогда мы можем образовать векторное и скалярное произведения следующим образом:
Первое из этих выражений - скаляр, называемый дивергенцией U (обозначается divU); второе - вектор, названный ротор U (обозначается rotU).
Эти дифференциальные функции, дивергенция и ротор, широко используются в математической физике.
Представьте, что U - некоторый вектор и что он и его первые производные непрерывны в некоторой области. Пусть P - точка в этой области, окруженная малой замкнутой поверхностью S, ограничивающей объем ?V. Пусть n - единичный вектор, перпендикулярный к этой поверхности в каждой точке (n меняет направление при движении вокруг поверхности, но всегда имеет единичную длину); пусть n направлен наружу. Покажем, что
и
Здесь S указывает, что эти интегралы берутся по всей поверхности, da - элемент поверхности S.
Для простоты мы выберем удобную для нас форму S в виде небольшого параллелепипеда (как показано на рис. 12) со сторонами ?x, ?y и ?z; точка P - центр параллелепипеда. Вычислим интеграл из уравнения (4) сначала по одной грани параллелепипеда. Для передней грани n i (единичный вектор параллелен оси x); ?a ?y?z. Вклад в интеграл от передней грани равен
На противоположной грани n -i; эта грань дает вклад в интеграл
Используя теорему Тейлора, получим общий вклад от двух граней
Заметим, что ?x?y?z ?V. Аналогичным образом можно вычислить вклад от двух других пар граней. Полный интеграл равен
и если мы положим ?V ? 0, то члены более высокого порядка исчезнут. По формуле (2) выражение в скобках - это divU, что доказывает равенство (4).
Равенство (5) можно доказать таким же образом. Воспользуемся снова рис. 12; тогда вклад от передней грани в интеграл будет равен
и, используя теорему Тейлора, получим, что суммарный вклад в интеграл от двух граней имеет вид
т.е. это два члена из выражения для rotU в уравнении (3). Другие четыре члена получатся после учета вкладов от других четырех граней.
Что, в сущности, означают эти соотношения? Рассмотрим равенство (4). Предположим, что U - скорость (жидкости, например). Тогда n?U da Un da, где Un является нормальной компонентой вектора U к поверхности. Поэтому, Un da - это объем жидкости, протекающей через da в единицу времени, а- это объем жидкости, вытекающей через S в единицу времени. Следовательно,
- скорость расширения единицы объема вокруг точки P. Отсюда дивергенция получила свое название; она показывает скорость, с которой жидкость расширяется из (т.е. расходится от) P.
Чтобы объяснить физическое значение ротора U, рассмотрим другой поверхностный интеграл по маленькому цилиндрическому объему высотой h, окружающему точку P; плоско-параллельные поверхности могут быть ориентированы в любом направлении, которое мы выбираем. Пусть k -единичный вектор перпендикулярный к каждой поверхности, и пусть площадь каждой поверхности ?A; тогда полный объем ?V h?A (рис. 13). Рассмотрим теперь интеграл
Подынтегральное выражение - уже упоминавшееся ранее тройное скалярное произведение. Это произведение будет равно нулю на плоских поверхностях, где k и n параллельны. На кривой поверхности
где ds - элемент кривой как показано на рис. 13. Сравнивая эти равенства с соотношением (5), получаем, что
Мы по-прежнему предполагаем, что U - скорость. Чему в таком случае будет равна средняя угловая скорость жидкости вокруг k? Очевидно, что
если ?A ? 0. Это выражение максимально, когда k и rotU указывают в одном и том же направлении; это означает, что rotU - вектор, равный удвоенной угловой скорости жидкости в точке P. Если жидкость вращается относительно P, то rotU ? 0, и векторы U будут вращаться вокруг P. Отсюда и возникло название ротора.
Теорема дивергенции (теорема Остроградского - Гаусса) является обобщением формулы (4) для конечных объемов. Она утверждает, что для некоторого объема V, ограниченного замкнутой поверхностью S,
и справедлива для всех непрерывных векторных функций U, имеющих непрерывные первые производные всюду в V и на S. Мы не будем приводить здесь доказательство этой теоремы, но ее справедливость можно понять интуитивно, представляя объем V разделенным на ячейки. Поток U через поверхность, общую для двух ячеек обращается в нуль, и только ячейки, находящиеся на границе S внесут вклад в поверхностный интеграл.
Теорема Стокса является обобщением уравнения (6) для конечных поверхностей. Она утверждает, что
где C - замкнутая кривая и S - любая поверхность, ограниченная этой кривой. U и ее первые производные должны быть непрерывны всюду на S и C.