1) кланяться, уходя, или кланяться тому, кто уходит
When leaving the presence of the princess, you have to bow yourself out as you go. — После окончания аудиенции у принцессы, вы должны поклониться ей, покидая залу.
2) прекращать ( соревнование и т.д. )
Jim bowed (himself) out of the competition when he learned who his opponent was. — Джим отказался от соревнования, когда выяснил, кто был его противником.
The old leader decided to bow out instead of fighting to keep his position. — Прежний лидер решил сразу сдаться вместо того, чтобы бороться за свое положение.