1) проталкиваться, пробиваться, устремляться вперед
The crowd, pressing forward to see the Queen, broke the fence. — Толпа, жаждавшая увидеть королеву, все давила вперед и сломала в конце концов ограду.
2) разг. продолжать (усиленно делать что-л.); спешить
If we press forward, we can get home before dark. — Если мы поспешим, то успеем домой до темноты.