1) быть осторожным, осмотрительным; остерегаться
I should know better than to read academic journals in my leisure time. — Мне следует поостеречься и не читать научные журналы в свободное время.
2) понимать, что кто-л. заблуждается, ошибается
Everyone thought it was an innocent mistake, but I knew better. — Все думали, что это было невинным заблуждением, но я-то знал, что это не так.