УРАВНЕНИЯ Алгебраические уравнения. Уравнения вида fn 0, где fn - многочлен от одной или нескольких переменных, называются алгебраическими уравнениями. Многочленом называется выражение вида
fn a0 xiyj... vk + a1 xlym... vn + ? + asxpyq... vr,
где x, y, ..., v - переменные, а i, j, ..., r - показатели степеней (целые неотрицательные числа). Многочлен от одной переменной записывается так:
f(x) a0xn + a1xn - 1 + ... + an - 1x + an
или, в частном случае, 3x4 - x3 + 2x2 + 4x - 1. Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется любое уравнение вида f(x) 0. Если a0 ? 0, то n называется степенью уравнения. Например, 2x + 3 0 - уравнение первой степени; уравнения первой степени называются линейными, так как график функции y ax + b имеет вид прямой. Уравнения второй степени называются квадратными, а уравнения третьей степени - кубическими. Аналогичные названия имеют и уравнения более высоких степеней.
Трансцендентные уравнения. Уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие, как логарифмическая, показательная или тригонометрическая функция, называются трансцендентными. Примером могут служить следующие уравнения:
где lg - логарифм по основанию 10.
Дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, содержащие одну или несколько функций и их производные или дифференциалы. Дифференциальные уравнения оказались исключительно ценным средством точной формулировки законов природы.
Интегральные уравнения. Уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла, например, f (s) ?K (s, t) ? (t) dt, где f (s) и K(s,t) заданы, а ? (t) требуется найти.
Диофантовы уравнения. Диофантовым уравнением называется алгебраическое уравнение с двумя или более неизвестными с целыми коэффициентами, решение которого ищется в целых или рациональных числах. Например, уравнение 3x - 5y 1 имеет решение x 7, y 4; вообще же его решениями служат целые числа вида x 7 + 5n, y 4 + 3n.