1) разг. отхаркивать
Jane has just coughed up a fishbone. — Джейн только что выплюнула рыбью кость.
2) разг. сболтнуть, проболтаться выдать что-л.
See if you can make the prisoner cough up the names of his companions. — Попробуй сделать так, чтобы он невзначай назвал тебе имена своих сообщников.
3) разг. признавать свою вину
After hours of questioning, the prisoner coughed up and admitted that he had stolen the jewels. — После нескольких часов допроса арестованный признался, что это он украл драгоценности.