1) воен. атаковать
Our army engaged with the enemy at the first light of day. — С первыми лучами солнца наша армия вступила в битву с врагом.
2) быть подогнанным, сработанным (о частях механизма)
The engine has stopped because the different parts of the motor are not engaging with each other properly. — Мотор заглох, потому что разные детали плохо подогнаны.