фраз. гл.
1) охотиться ( на какое-л. животное ) , преследовать ( кого-л. )
The huntsmen rode fast, chasing after the fox. — Охотники гнали лису.
2) разг. догонять
Chase after Anne and ask her to get some eggs while she's at the shops. — Догони Энн и скажи ей, чтобы заодно купила яиц, раз уж она пошла в магазин.
3) разг. бегать за кем-л., добиваться чьей-л. любви
She's been chasing after that man for years. — Она добивалась этого мужчины многие годы.