1) преследовать, бежать за (кем-л., чем-л.)
Run after your father, he's forgotten his hat. — Беги догони отца, он забыл свою шляпу.
2) бегать, ухаживать за кем-л.
All the girls are running after the attractive new student. — Девушки прохода не дают этому симпатичному новичку-студенту.