1) начинать нравиться кому-л.
At first he seemed a little strange, but recently I've been warming to him more. — Сначала он мне показался немного странным, но в последнее время он начал мне нравиться.
2) начинать говорить о чем-л. живо
As he warmed to his subject, he infected his listeners with his own excitement. — Когда он начинал говорить на свою любимую тему, он просто заражал слушателей своим вдохновением.