1) проталкивать(ся); пробиваться
to push the matter through — довести дело до конца
2) разг. помочь (кому-л., чему-л.) пройти какое-л. испытание (тест, утверждение и т. п.)
We shall need all the votes to push the new law through. — Чтобы провести новый закон, нам понадобятся все голоса.